Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1952
i

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x.

а)  Вы­чис­ли­те f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка , если f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби и x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

б)  До­ка­жи­те тож­де­ство  дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =2 ко­си­нус x минус 1.

в)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

г)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x \rigth пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус синус x.

По­сколь­ку  ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби и  синус x мень­ше 0, то

 синус x= минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби конец ар­гу­мен­та = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби конец ар­гу­мен­та = минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Зна­чит, f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

б)  До­ка­жем тож­де­ство

 дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x минус ко­си­нус 2x плюс ко­си­нус 3x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x конец дроби =2 ко­си­нус x минус 1 рав­но­силь­но  дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x конец дроби =2 ко­си­нус x минус 1 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x конец дроби минус 1=2 ко­си­нус x минус 1 рав­но­силь­но  дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x конец дроби =2 ко­си­нус x рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x=2 ко­си­нус x ко­си­нус 2x,

что верно по фор­му­ле пре­об­ра­зо­ва­ния суммы в про­из­ве­де­ние.

в)  За­пи­шем урав­не­ние в виде  ко­си­нус x минус ко­си­нус 2x плюс ко­си­нус 3x=0 и пре­об­ра­зу­ем его:

 ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x= ко­си­нус 2x рав­но­силь­но 2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3x плюс x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3x минус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­си­нус 2x рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус 2x ко­си­нус x= ко­си­нус 2x рав­но­силь­но ко­си­нус 2x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 2x=0,2 ко­си­нус x минус 1=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби Пи k,x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

г)  В силу пунк­та б не­ра­вен­ство можно за­пи­сать в виде 2 ко­си­нус x минус 1 боль­ше или равно 0 при усло­вии  ко­си­нус 2x не равно 0. Урав­не­ние  ко­си­нус 2x=0 имеет ре­ше­ния x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби Пи k, из ко­то­рых на ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Эти зна­че­ния не долж­ны по­пасть в ответ. Решим не­ра­вен­ство

2 ко­си­нус x минус 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но ко­си­нус x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Тогда окон­ча­тель­но x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: а)  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; в)  левая фи­гур­ная скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; г)  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1947

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1999 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 5 из 10