PDF-версии: 
3Б. Дана функция 
а) Выясните, является ли прямая, задаваемая уравнением 
касательной к графику функции 
б) Исследуйте функцию 
на монотонность.
в) Постройте множество точек 
удовлетворяющих условиям 
и 
г) Наудачу выбирают пару чисел 
таких, что 
Определите вероятность того, что 
Решение. а) Найдем сначала точки пересечения графиков 
и 
Решим уравнение
Заметим, что при 
функция может быть записана в виде
и 
а 
Значит, уравнение касательной в точке 
имеет вид 
б) При нужно исследовать функцию 
производная которой
и положительна при 
поэтому функция возрастает при 
и убывает на промежутке 
Аналогично при 
нужно исследовать функцию
), значит, функция убывает при 
Ответ: функция возрастает при и убывает на промежутке 
в) Нужно построить графики 
и при 
и взять все точки, которые окажутся между ними. Мы уже знаем, что 
убывает на всем промежутке 
пересекает линию при и 
и ее график представляет собой части графиков двух кубических многочленов. Для построения графиков осталось только исследовать их выпуклость
и отрицательно при 
Значит функция выпукла вниз при и выпукла вверх при 
и при
Примерный график изображен на рисунке.
г) Исходя из геометрического определения вероятности, нужно найти отношение площади заштрихованной фигуры. На прошлом рисунке к площади, лежащей над графиком функции 
то есть к той же площади, к которой добавлена площадь прямоугольного треугольника с вершинами 
— она составляет 
Теперь вычислим площадь заштрихованной фигуры:
Поэтому искомая вероятность равна 
Ответ: а) да, в точке 
б) на 
функция убывает; на 
— возрастает; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и убывает на промежутке в) Нужно построить графики и при и взять все точки, которые окажутся между ними. Мы уже знаем, что убывает на всем промежутке пересекает линию при и и ее график представляет собой части графиков двух кубических многочленов. Для построения графиков осталось только исследовать их выпуклость
и отрицательно при
Значит функция выпукла вниз при и выпукла вверх при и при
Примерный график изображен на рисунке.
г) Исходя из геометрического определения вероятности, нужно найти отношение площади заштрихованной фигуры. На прошлом рисунке к площади, лежащей над графиком функции то есть к той же площади, к которой добавлена площадь прямоугольного треугольника с вершинами — она составляет
Теперь вычислим площадь заштрихованной фигуры:
Поэтому искомая вероятность равна
Ответ: а) да, в точке б) на функция убывает; на — возрастает; г)
и убывает на промежутке в) Нужно построить графики и при и взять все точки, которые окажутся между ними. Мы уже знаем, что убывает на всем промежутке пересекает линию при и и ее график представляет собой части графиков двух кубических многочленов. Для построения графиков осталось только исследовать их выпуклость
и отрицательно при
Значит функция выпукла вниз при и выпукла вверх при и при
Примерный график изображен на рисунке.
г) Исходя из геометрического определения вероятности, нужно найти отношение площади заштрихованной фигуры. На прошлом рисунке к площади, лежащей над графиком функции то есть к той же площади, к которой добавлена площадь прямоугольного треугольника с вершинами — она составляет
Теперь вычислим площадь заштрихованной фигуры:
Поэтому искомая вероятность равна
Ответ: а) да, в точке б) на функция убывает; на — возрастает; г)