PDF-версии: 
3Б. Дана функция 
а) Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
б) Найдите уравнение касательных к графику функции 
проходящих через точку с координатами 
в) Найдите площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной графиком функции и прямыми 
г) Наудачу выбирается число k из отрезка 
Определите вероятность того, что уравнение 
имеет корень из отрезка 
Решение. Преобразуем искомую функцию:
а) Возьмем производную:
и отрицательно при 
Значит, функция возрастает на отрезке 
и убывает на отрезке 
поэтому ее наименьшее значение равно 
б) Уравнение касательной к графику в точке с абсциссой 
имеет вид 
то есть
Эта прямая должна проходить через точку 
откуда
Уравнение касательной при 
имеет вид 
(касательная горизонтальна, поскольку 
— точка экстремума).
Уравнение касательной при 
имеет вид
в) Найдем сначала точки пересечения. Прямые и 
пересекаются в точке 
Прямая пересекает график 
в первой четверти только при (поскольку при прочих 
получаем из пункта а что 
). Наконец, решим уравнение
Одним из его корней, как мы знаем, будет 
(это ведь касательная в точке ). Значит, у многочлена в левой части есть множитель 
Выделим его
Нас интересует только второй корень.
Ясно, что в первой четверти прямая проходит выше прямой 
и что функция возрастает на 
а 
убывает там же. Значит, область ограничена снизу линией на отрезке а сверху на отрезке 
— прямой 
а на отрезке 
— линией 
Проведем вертикальный отрезок от точки 
до точки 
Он отсечет от области прямоугольный треугольник площади 
Значит, вся площадь равна
г) Прямые 
проходят через точку и имеют тем больший наклон, чем больше k. Тогда они пересекают график убывающей на отрезке 
функции тем раньше, чем больше k. При 
точка пересечения имеет абсциссу 1 (см. пункт б). Выясним, когда абсцисса попадет в промежуток 
Так как
пройдет через точку 
если 
Так как
пройдет через точку 
если 
Значит подходят все 
Мы рассматриваем только 
из них подходят 
Итак, из отрезка длиной 5 подходят точки отрезка длиной 3, поэтому искомая вероятность 
Ответ: а) 1,5; б) 
в) 
г) 0,4.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) г) 0,4. в) г) 0,4.