PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Преобразуем уравнение
у этого многочлена есть корень x = −1, поэтому можно выделить множитель x + 1:
второе не подходит из-за условия x > 0.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
где 
и 
Впрочем, если 
то 
и первое условие все равно не выполняется, так что второе можно не учитывать. Учитывая, что 
получаем ответ: 
кратно 8.
Сфера полушара касается боковых граней пирамиды и центр основания пирамиды лежит в центре шара.
— высота пирамиды, 
— ее сторона основания, тогда ее объем равен 
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SMN. В нем будет равнобедренный треугольник MSN, в который вписана полуокружность радиуса 
центр которой O — точка пересечения диагоналей ромба. 
откуда 
откуда 
Необходимо найти наименьшее значение этой функции. Возьмем ее производную:
это выражение отрицательно (и функция 
убывает), а при 
это выражение положительно (и функция 
и, соответственно, 
и 
состоит из двух частей: 
(и, значит, при 
) и 
при 
(и, значит, при 
). Найдем точки пересечения эти прямых с параболой 
а сверху — прямой 
при 
и параболой при 
Проведем отрезок прямой 
который разобьет нашу область на две. Правая — треугольник с (вертикальным) основанием 2 и высотой 1, поэтому его площадь 1. Значит,
