PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Данное тригонометрическое уравнение методом замены сводится к квадратному. Пусть 
тогда 
и исходное получаем
Поскольку 
то, умножив обе части равенства на -t, получим
Возвращаясь к исходной переменной 
имеем
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
то 
тогда 
и 
— корни уравнения 
следовательно, 
Вернемся к переменной х: имеем 
Поскольку 
то
т. е. 
второй 
т. е. 
Таким образом, 
и 
— решение системы.
и 
является парабола, направленная ветвями вниз. Координаты вершины параболы 
ось симметрии 
График функции 
получен из графика функции 
сдвигом вдоль оси ординат вверх на 1. (см. рис.). Поскольку эти функции четные, то их графики симметричны относительно оси Оу, поэтому площадь S искомой фигуры равна 
Найдем 
получим
кв. ед.
принадлежащие отрезку 
получим
лежат три корня: 
— корень уравнения. Подставив его, мы получим верное равенство
и 
Функция f(x) определена и дифференцируема на ℝ. Исследуем ее на монотонность:
получим 
Пусть 
и получаем
при любых значениях и функция f(x) строго возрастает на ℝ. Рассмотрим функцию g(x). Она определена на ℝ и дифференцируема на 
Получим 
то
т. е. 
и функция 
убывает на ℝ. Поскольку функция g(x) убывает, f(x) строго возрастает на ℝ, то уравнение 
имеет не больше одного корня, следовательно, 
единственный корень данного уравнения.