PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда
Вернемся к исходной переменной. Уравнение 
не имеет решений, поскольку синус не принимает значений больше 1. Решим уравнение
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и 
в точках с абсциссами −1 и 1. Найдем площадь: 
на монотонность и экстремумы и постройте ее график.
Найдем производную:
и на 
убывает на отрезке 
Экстремумы:
— точка перегиба. Найдем нули функции:
Пусть 
тогда 
или 
Первое уравнение не имеет решений, так как 
для всех y. Из второго уравнения находим 
тогда 
то есть 
откуда 
Искомое решение: 
имеет два решения?
тогда 
и получаем: 
или 
Если a = 1, то уравнение 
не имеет решений. Если 
то 
Решив неравенство 
получаем, что 
принадлежит промежутку 
при 
тогда 
и получаем: 
или 
Если a = −1, то уравнение 
не имеет решений. Если 
Решив неравенство 
приходим к выводу, что 
принадлежит промежутку 
при 
или 
то составим совокупность из систем
при 
при 
причем единственным решением служит пара чисел 
при 
причем решениями системы являются пары: 
и 
или
уравнение (2) превращается в линейное, то значения 
Тогда уравнение (2) является квадратным и 
при любом 
Следовательно, корни уравнения (2) таковы: 
т. е. 
и 
Заметим, что при 
Проверим значения 
которое является верным при 
т. е. при 
Следовательно, 
или при 
в уравнение (1), получаем равенство 
которое является верным при 
т. е. при 
Для 
происходит совпадение x1 и x2. Значит, уравнение (1), а следовательно, и исходная система имеет два решения при 
ложное при любом 
Перепишем уравнение (1) в виде:
функция a(x) монотонно возрастает, принимая все значения из промежутка 
и только их, а при 
функция a(x) монотонно убывает на каждом из промежутков 
и 
принимая все значения из множества 
и только их. Следовательно, значения. которые функция a(x) принимает два раза, заполняют промежуток 
Это и есть искомые значения параметра.
в координатной плоскости xOa (рис. 2). Заметим, что для его построения достаточно знать свойства функции 
где 
изучаемые в Ⅶ классе, и простейшее преобразование графиков функций. Даже без подробного изучения теории пределов внимательный ученик отметит, что 
— вертикальная асимптота; 
и 
— горизонтальные асимптоты, причем если 
то 
для любого 
а если 
то 
при любом 
удовлетворяющие уравнению (1). Поэтому количество решений уравнения (1) по переменной x при каждом значении параметра 
совпадает с количеством точек пересечения прямой l, задаваемой уравнением 
с построенным графиком Из рис. 2 непосредственно видно, что при 
уравнение (1), а следовательно, и исходная система, имеет два решения.
используя в рассуждении семейство прямых 
где 
совпадает с количеством точек пересечения графиков функций 
и 
построенных в одной системе координат. График функции 
не зависит от параметра a, и его называют неподвижным. График функции 
— подвижный, он представляет собой прямую, проходящую через точку 
и имеющую угловой коэффициент a (рис. 3). Поэтому искомыми являются те значения параметра a, при которых подвижный график пересекает неподвижный в двух точках. 
единственность решения при 
и 
два решения при 
целесообразно рассмотреть еще один вариант применения указанного способа (рис. 4). Опять получается наглядная иллюстрация «расслоения» значений параметра a для всех возможных случаев при решении уравнения, a следовательно, и системы.