PDF-версии: 
Решите неравенство 
Решение. Преобразуем исходное выражение
Это неравенство равносильно системе
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и дифференцируема на 
Найдем производную:
то есть 
Исследуем знаки 
на 
(см. рис.).
производная 
поэтому функция у возрастает на 
в которых касательная к этому графику параллельна прямой 
Найдем производную:
необходимо (но не достаточно — см. ниже замечание), чтобы 
т. е.
получим
где 
второй корень не дает решения, т. к. 
при всех t. Таким образом, на графике функции 
есть единственная точка 
с угловым коэффициентом касательной в этой точке, равным 2. Так как эта точка не лежит на прямой 
в точке с абсциссой t была параллельна прямой 
необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система условий
был равен производной функции f(x) при 
(условие (1)), но и чтобы эта точка графика не находилась на данной прямой (условие (2)). Иначе — при нарушении условия (2) — касательная к графику совпадает с данной прямой, a, следовательно, не параллельна ей. 
и 
необходимо и достаточно одновременного выполнения двух условий: 
и 
а если в решении отсутствует условие 
и 
и 
— точка 
Пересечение линий 
— точка пересечения этих линий. Пересечение линий 
есть точка 
она единственная, так как 
Для решения задачи можно из площади прямоугольника 
вычесть сумму площадей криволинейных трапеций 
и 
Найдём: 
фигура 
равна фигуре 
(см. рис.). Отсюда следует, что площадь фигуры 
т. е. равна 4, что мы и получили выше (см. также решение задания 5 в работе № 7, вариант Ⅰ).
рассмотрим на совместном рисунке графики функций 
и 
(см. рис.). Первый график y1 не зависит от а и имеет вид графика функции 
с вершиной в точке 
График функции 
— прямая, проходящая через начало координат. 
до 
и определять соответствующее количество точек пересечения двух графиков 
Нетрудно видеть, что имеются три критических значения параметра 
и 
при 
график 
а при 
то, как видно из рисунка, графики пересекаются только в одной точке. При 
график 
пересекает график 
в двух точках (т. е. исходное уравнение имеет два решения). При 
график y1). Если 
то графики y1 и y2 не пересекаются. И, наконец, при 
оба графика пересекаются в одной точке.
— нет решений; при 
— 1 решение; при 
— 2 решения.
где 
не является корнем данного уравнения, и, таким образом, оно равносильно уравнению
она принимает один раз, а значения из промежутка 
не принимает вообще. Значение 
функция принимает один раз, каждое значение из интервала 
— два раза, а значение из промежутка 
— один раз. Таким образом, исходное уравнение при 
не имеет решений, при 
имеет одно решение, а при 
распадается на две системы:
решений не имеет, а при 
примет вид 
и должно выполняться условие
или 
Таким образом, первая система имеет одно решение при 
и не имеет решений при 
Вторая система при 
может иметь одно решение 
если оно удовлетворяет неравенству
имеет одно решение, а при 
решений не имеет. Таким образом, получаем результаты, которые показаны на рисунке, «закрашенная» часть кружочка отвечает случаю существования решения соответствующей системы, — при выделенном значении параметра.
и 
системы имеют разные решения. Мы получаем, таким образом, следующие результаты для количества решений исходного уравнения при каждом значении параметра a (рисунок наглядно это показывает):