PDF-версии: 
Найдите абсциссы всех точек пересечение графиков функций 
и 
Решение. Абсциссы всех общих точек графиков двух заданных функций являются корнями уравнения 
Приведем два способа его решения.
Ⅰ способ. Прировняем обе части выражения:
Ответ: 
Ⅱ способ. Сделаем замену 
при 
—
запишем исходное соотношение как уравнение относительно t: 
Отсюда 
получим 
и 
Из двух значений t условию (1) удовлетворяет только 
Отсюда 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и использовано свойство монотонности показательной функции, перейдем к равносильному неравенству 
или 
Последнее неравенство решим методом интервалов. Пусть 
Корни числителя: 1 и 3, корень знаменателя 0. Выносим три точки возможной перемены знака на ось (см. рис.), и, отметив, что f(x) в каждой из этих точек меняет знак, а также, что 
расставляем знаки. 
и 
исследуйте функцию 
и постройте ее график.
и полученную линию центральносимметрично отобразить относительно начала координат. Функция g(x) дифференцируема на ℝ, ее производная примет вид:
при 
и 
−1 и 1 — критические точки функции. Тогда 
при 
поэтому при таких x функция g(x) возрастает; 
при 
и при 
при этих x функция g(x) убывает. В критической точке 
заданная функция имеет максимум, поскольку производная функции в этой точке меняет знак с плюса на минус. Аналогично точка 
при всех x, то 
при всех положительных x; 
при 
и 
Для более точного построения графика можно выбрать еще несколько точек. Окончательный вид графика приведен на рисунке. 
убывает на 
и на 
функция 
при 
функция 
при 
функция 
и 
имеют хотя бы один общий корень.
Последнюю серию удобно представить в виде двух серий: 
и 
(k1, k2 — целые). Если 
то 
и 
При четных k1 выражение 
принимает значение 
при нечетных 
Если 
то 
если k2 — четное; 
при нечетных k2. Таким образом, возможные значения a: 
−1 и 1.
то 
Подставив выражение 
вместо 
в уравнение 
получим 
Используя основное тригонометрическое тождество, получим уравнение относительно a: 
a после подстановки 
перейдем к уравнению 
Отсюда 
или 
тогда 
и 
мы фактически перешли от уравнения к его следствию (такой же характер имел переход от уравнений 
к уравнению 
Появилась возможность приобретения посторонних значений a. Поэтому необходимо убедиться, что для каждого из найденных a существует х, удовлетворяющий обоим данным уравнениям.
такое значение х существует 
при 
получаем соответствующие значения x: 
и