PDF-версии: 
Многочлен 
при делении на x − 2 дает в остатке 12, а на x + 1 делится без остатка. Найдите корни P(x).
Решение. По теореме Безу получаем, что 
и 
откуда 
и 
Вычитая из первого уравнения второе, находим 
отсюда 
и 
Итак, 
причем он делится на 
Получим 
Решим уравнение:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
тогда 
и неравенство примет вид
откуда 
равна 0.
откуда 
(посторонний корень, поскольку подкоренное выражение отрицательно) или 
Либо 
откуда 
т. е. 
или 
и 
имеем 
и 
поэтому график второй функции на этом промежутке проходит ниже графика первой. Значит
C другой стороны, второе неравенство дает 
откуда 
В таком случае неравенства принимают вид 
и 
что возможно одновременно лишь при 
При таком x имеем также 
поэтому все неравенства выполнены (и обращаются в равенства).
и 
Возможны два случая: найденные корни соответствуют противоположным вершинам параллелограмма или его смежным вершинам.
откуда 
Для найденного а второе получаем 
корни которого комплексны и отличаются только знаком. Поэтому у четырехугольника, образованного корнями этих уравнений, диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, это параллелограмм.
Остальные два корня тоже смежные вершины, расстояние между ними такое же. Они будут концами параллельной стороны, причем вторая сторона вертикальна, то есть 
Поскольку сумма корней равна 
и число a вещественное, мнимая часть корней равна 
Запишем корни в виде 
и подставим в уравнение.
откуда