PDF-версии: 
Найдите пару комплексных чисел 
для которых одновременно выполняются соотношения
Решение. Поскольку 
то и 
то есть 
Складывая это уравнение со вторым, находим 
откуда
Подставим полученное значение в первое уравнение:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Теперь применим метод рационализации:
(будет учтено по ОДЗ) 
Ясно, что 
подходит. Поскольку левая часть убывает, а правая возрастает, других корней нет. При этом на 
имеем 
то есть график 
проходит выше. Теперь можно искать площадь:
откуда 
Тогда 
или 
Подставим эти значения во второе уравнение.
Преобразуем:
Преобразуем:
и напишем итоговый ответ:
имеющая с графиком ровно две общие точки? Если да, напишите ее уравнение.
при 
Такая прямая должна либо касаться обеих парабол, либо касаться одной из них, а вторую пересекать ровно один раз. Второе произойти не могло.
при 
то ее угловой коэффициент отрицателен, поэтому она не могла войти снизу в область над второй половиной графика.
при 
то аналогично ее угловой коэффициент положителен, поэтому она не могла прийти из области над первой половиной графика.
касательной нет, при 
ее уравнение имеет вид 
Значит, ее угловой коэффициент отрицателен, а точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты 
и лежит потому левее начала координат, поэтому такая прямая тоже не могла прийти из области над первой половиной графика.
Тогда уравнения 
и 
должны иметь по одному корню. Тогда дискриминанты уравнений 
и 
должны быть нулями. Итак, 
и 
Вычитая эти уравнения, находим 
тогда 
имело ровно два различных корня и для них обоих выполнялось условие 
Решим уравнение 
не подходит, поскольку корни совпадают).
и 
То есть 
и 
Каждое из этих условий задает полуплоскость, а их пересечение задает угол с вершиной 
Нас устраивают все точки этого угла, кроме точек, лежащих на горизонтальном луче 