PDF-версии: 
Изобразите на чертеже множество точек комплексной плоскости, для которых выполняется условие 
Среди чисел, удовлетворяющих ему, найдите число с наименьшим модулем. Запишите найденное число в тригонометрической форме
Решение. Отметим, во-первых, что
Во-вторых, преобразуем
Тогда исходное равенство равносильно 
Учитывая, что 
равен расстоянию между точками z и 
на комплексной плоскости, получаем, что данное равенство задает геометрическое место точек равноудаленных от O и 
искомое ГМТ — серединный перпендикуляр к отрезку соединяющему эти точки.
Далее воспользуемся геометрическим соображением. Наименьший модуль у числа, ближайшего к точке O. Опустим на из точки O перпендикуляр на эту прямую. Так как треугольник AOB — прямоугольный и равнобедренный, то M — середина AB, тогда
и 
откуда и получаем тригонометрическую форму искомого числа:
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
0 < a < 1.
при 
данное неравенство имеет пустое множество решений.
решением дифференциального уравнения 
?
в левую часть данного дифференциального уравнения и преобразуем:
является решением данного дифференциального уравнения.
найдите первообразную, график которой касается прямой у = 16х. Постройте график найденной первообразной.
Теперь найдем первообразную, применив интегрирование по частям
то для неё 
при 
и 
и 
На 
производная положительна, следовательно, функция возрастает. На 
производная отрицательна, следовательно, функция убывает.