PDF-версии: 
Вычислите 
Решение. Переведем числа в тригонометрическую форму и воспользуемся формулой Муавра. Поскольку числа 
и 
сопряжены, то сопряжены и их степени. Значит,
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
подходят 
получим:
положителен, на него можно сократить:
касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 = 1 и прямой x = 5 (ln 5 ≈ 1,6).
Возьмем производную:
и уравнение касательной имеет вид 
— гипербола, ее ветвь при x > 0 лежит ниже касательной. Значит, искомая площадь равна 
Пусть, кроме того, O — центр основания пирамиды (также он центр квадрата ABCD, поскольку лежит на AC и BD, которые лежат на MP и NQ соответственно). По условию MN = 2 и 
поскольку является высотой правильного треугольника со стороной 2, описанного в условии. Заодно можно узнать, что сторона квадрата MNPQ равна 2, поэтому 
Обозначим AB = 2x, AA1 = h, тогда объем призмы будет равен 
Кроме того 
Треугольники SOP и C1CP подобны, поэтому 
Определим наименьшее значение этой функции. Возьмем производную:
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наибольшего значения при 
Тогда
