PDF-версии: 
Дана функция 
а) При каком a прямая 
касается графика функции f?
б) Докажите, что 
в) Пусть 
Сколько решений (в зависимости от b) имеет уравнение 
г) Пусть 
и 
Докажите, что 
Решение. а) Допустим, что при некотором x происходит касание. Тогда в точке касания производная 
должна быть равна угловому коэффициенту прямой, то есть 
Получаем
Откуда 
и 
(второе условие выражает тот факт, то у прямой и графика точка касания является общей). Из первого уравнения 
тогда из второго 
то есть 
поэтому 
и 
Итого, при 
абсцисса точки касания
б) Преобразуем исходное выражение:
поскольку 
Докажем это. Исследуем функцию 
определенную при 
Поскольку
что положительно при 
и отрицательно при 
функция 
возрастает на (−1; 0] и убывает на 
Значит,
что и требовалось доказать.
в) Запишем уравнение в виде 
что равносильно 
Обозначим 
и 
тогда каждому x соответствует ровно одно значение Поэтому достаточно изучить число положительных корней уравнения 
где 
тогда 
Рассмотрим функцию 
и возьмем ее производную:
что положительно при 
и отрицательно при 
поэтому 
убывает на 
и возрастает на 
При этом
и 
Значит, функция принимает один раз значение 
и два раза — все большие него значения. Вспоминая о том, что 
получаем ответ — при 
одно решение, при 
два решения, нет решений при 
г) Преобразуем исходное выражение:
Подынтегральная функция положительна, поскольку 
Но кроме того, как уже было доказано в пункте а), при положительных t выполнено неравенство 
поэтому
Неравенство доказано.
Ответ: а) 
в) 
два — при 
не имеет решений при
в) два — при не имеет решений при в) два — при не имеет решений при 
таких что данная система имеет решение.
и 
Возводя уравнения в квадрат и складывая их, получим 
что невозможно.
Возводя их в квадрат и складывая, получим:
(поскольку 
):
откуда 
и тогда из уравнения 
находим 
при 
Либо можно сократить уравнение на 
получим
и 
где 
и 
и 
где 
Если про угол известны и синус и косинус, то угол определяется однозначно с точностью до прибавления кратного 
Мы выбрали точки в подходящих четвертях, чтобы знаки сошлись. Например у 
был бы положительный синус, что нас не устраивает.
и 
или 
и 
откуда 
Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, решим:
и рассмотрим функцию 
На самом деле четырехугольник наибольшей площади с данными сторонами — вписанный. В нашем случае на его, роль, очевидно, подойдет равнобедренная трапеция.
и 
возведем в квадрат и сложим. Получим уравнение 
причем если это уравнение имеет решение, то соответствующее y можно будет подобрать, поскольку выражения 
и 
будут не больше 1 по модулю, а сумма их квадратов будет равна единице. Раскрывая скобки, получим:
тогда 
решений нет (это, кстати, пункт а). Выберем 
так, чтобы 
и 
(это возможно, поскольку 
), тогда
Поскольку 
данное выражение положительно всегда
(кольцо).
В следующих далее формулировках мы для краткости будем отождествлять комплексные числа с их изображениями как точек плоскости.
Верно ли, что при всех 
корни многочлена 
лежат на единичной окружности?
и 
Найдите наименьшее значение модуля разности корней многочлена 
при 
Докажите, что 
при всех 
многочлена 
так 
и положим 
Тогда 
т. е. 
— произвольных точек единичного круга — ближайшей к точке 4 является точка 1.
Тогда 
Далее, так как 
и 
то 
Следовательно, 
не лежит на единичной окружности, в частности, 
Рассмотрим квадрат, центром которого является точка u, а одна из вершин которого (обозначим ее 
) лежит на единичной окружности. В силу выбора точки u верны неравенства 
С другой стороны, по доказанному в предыдущем пункте, 
так что 
в частности, 
Отсюда следует, что 
— противоречие.
для которых 
Вычислите 
то последовательность 
монотонна.
всех чисел, которые не могут являться начальными членами 
таких (бесконечных) последовательностей.
Общую формулу 
легко доказать по индукции. 
то 
поэтому 
при всех 
Отсюда следует, что неравенство 
равносильно неравенству 
которое очевидно верно, так как 
при некотором 
тогда 
не существует! Чтобы найти все такие значения начальных членов, перепишем рекуррентное соотношение в виде 
положив 
то последовательность стационарна; 
мы также получаем монотонную последовательность. Если 
то 
поэтому последовательность не монотонна. Итак, пусть 
причем 
Нетрудно доказать, что если 
так что 
таким образом мы снова получаем не монотонную последовательность.
в) 
г) 
). Обозначим через 
где 
вероятность того, что через n секунд устройство будет находится в состоянии x; в начальный момент оно находится в состоянии a.
Тогда 
Действительно, на n-й секунде устройство будет находится в состоянии x тогда и только тогда, когда на предыдущей секунде оно находилось в одном из двух других состояний (вероятность чего равна 
) из которых оно и перешло в x (с вероятностью 
при 
Именно 
и 
Докажем приведенную формулу (доказательство двух других аналогично).
число 
а переходам в обратном направлении — 
— 
длины n. Предположим, что в некоторой такой последовательности встречаются k штук 
Нетрудно понять, что последнее состояние совпадает с первым тогда и только тогда, когда 
(mod 3),
(mod 3)
(mod 3).
встречается k раз, равно 
б) нет.