PDF-версии: 
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет три решения.
г) Определите число корней уравнения 
Решение. а) Сразу отметим, что функция определена при условии 
и 
а при этих условиях ее можно преобразовать
Сделаем в уравнении замену 
получим
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Вернемся к замене переменной 
или 
тогда 
или 
б) Сделав аналогичную замену, получим неравенство
У многочлена в числителе есть корень 
поэтому многочлен раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Поскольку 
при всех t (его дискриминант отрицателен), оно не влияет на знак. Знаменатель всегда положителен (кроме случая, когда 
тогда дробь не определена). Значит, 
то есть 
отсюда 
имеем 
т. е. 
в) Сделаем ту же замену 
и еще обозначим 
Получим уравнение
Оно должно иметь три корня. Один его корень очевиден, это 
Выделим его:
Значит, либо 
либо 
или 
У этого уравнения должно быть два корня. Ясно что 
не является его корнем (поскольку 
), а 
будет его корнем только при
то есть только при 
Это b не должно попасть в ответ. При прочих b необходимо и достаточно, чтобы это уравнение имело два корня, то есть чтобы его дискриминант был положителен. Получаем условие
Итак, 
тогда
г) Сделаем ту же замену тогда 
и получаем:
Поскольку при подстановке получается 
а при больших t 
то в силу непрерывности есть корень на интервале 
и корень на интервале 
Итак, корней не менее двух. Докажем теперь, что корней не больше двух. При 
получим:
При 
производная:
поэтому функция убывает. На промежутке не более одного корня. При 
получим:
При 
производная:
поэтому функция возрастает. На промежутке не более одного корня. При 
получим:
Итак, общее количество корней не превосходит двух.
Ответ: а) 
б) 
б) б) 
Найдите корни функции f.
Получим:
В первом случае получаем:
получим выражение 
Заметим, что при 
получим 
монотонно убывает. Поэтому монотонность исходной функции и функции 
равносильны. Но квадратный трехчлен монотонен на промежутке в тех и только тех случаях, когда промежуток не содержит внутри себя его точку экстремума (она же — абсцисса вершины соответствующей ему параболы). Итак, 
Проще всего для этого воспользоваться геометрическим представлением — точки, соответствующие углам 
образуют вершины правильного n — угольника. Сумма косинусов таких углов, следовательно, равна сумме проекций векторов, идущих из центра многоугольника в его вершины, на ось абсцисс. Вместо суммы проекций можно взять проекцию суммы. Но сумма таких векторов равна нулю, поскольку переходит в себя при повороте на угол 
что возможно лишь для нулевого вектора. Ну а проекция нулевого вектора — нулевая. Есть и другие доказательства. Например, сумму косинусов от арифметической прогрессии углов можно вычислить явно. Аналогично 
Поэтому 
поэтому и ее предел равен 
б) 
в) 
г) 
задана соотношениями 
то эта последовательность монотонна.
то искомые значения c — решения неравенства 
то 
Для точного рассуждения можно воспользоваться методом математической индукции. Причем удобнее доказывать, что 
По предположению 
Индукционный переход: из проведенного выше преобразования следует, что если 
Поэтому все члены последовательности больше единицы, значит, 
являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, если 
и 
получим, что 
откуда 
Тем самым 
Так как при найденных значениях 
имеем 
то числа 
не будут последовательными членами никакой арифметической прогрессии. 
то 
причем 
при 
Следовательно, данная последовательность имеет число n (произвольное!) своим периодом.
или 
в) наибольшее число последовательных членов данной последовательности, которые могут образовывать конечную арифметическую прогрессию, равно трем, а первый из них должен быть 
— числу сочетаний из k 
), то вероятность его успешного ответа на оба поставленных вопроса равна 
способами. Поэтому 
Число вариантов выбора им трех вопросов, ответы по крайней мере на два из которых ему известны, равно 
Поэтому условие задачи записывается неравенством 
вопросов по n занумерованным билетам. Поскольку вопросы для первого билета можно выбрать 
способами, для второго — 
способами, и так далее, то общее число вариантов равно 
). Расставим вначале n вопросов из p известных по n билетам; это можно сделать 
способами. Оставшиеся n вопросов произвольным образом расставляем по билетам, что можно осуществить 
способами. В итоге имеем 
вариантов, однако необходимо учесть, что у нас окажется 
билетов, ответы на оба вопроса в каждом из которых ученику известны, и такие билеты мы сосчитали дважды. Поэтому число удачных вариантов равно 
а искомая вероятность есть 
получим ответ.
такое что 
Сопоставим точкам 
плоскости (здесь 
— комплексные числа) числа 
и 
Определите вид треугольника ABC.
однако всюду в дальнейшем нам потребуются лишь следующие два свойства этого числа: 
второе — из того, что ε — отличный от 1 кубический корень из 1.
и 
то 
откуда 
Следовательно, точка B получена из точки C поворотом на угол 
вокруг начала координат, совпадающего с вершиной A этого треугольника. Поэтому он — равносторонний. 
Если треугольник ABC — равносторонний, то точка B получается из точки C поворотом на угол 
поэтому либо 
либо 
откуда 
Обратно, если положить 
где 
является значением суммы 
для некоторой тройки