Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 5132

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x в квадрате плюс 2x плюс 4, y=x плюс 6, y=0, x=1.

Спрятать решение

Решение.

Изобразим данные линии (см. рис.): прямую y=x плюс 6 и параболу y=(x плюс 1) в квадрате плюс 3, полученную сдвигом параболы y=x в квадрате на 1 единицу влево и на 3 единицы вверх. Найдем абсциссу точки пересечения прямой и параболы:

x в квадрате плюс 2x плюс 4=x плюс 6 равносильно x в квадрате плюс x минус 2=0 равносильно совокупность выражений x=1,x= минус 2. конец совокупности .

Площадь сегмента численно равна:

 принадлежит t \limits_ минус 2 в степени (1) левая круглая скобка x плюс 6 минус (x в квадрате плюс 2x плюс 4) правая круглая скобка dx = принадлежит t \limits_ минус 2 в степени (1) левая круглая скобка 2 минус x в квадрате минус x правая круглая скобка dx = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате правая круглая скобка | \limits_ минус 2 в степени (1) =
= 2(1 плюс 2) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (1 плюс 8) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (1 минус 4)=6 минус 3 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 .

Искомая площадь равна разности площадей прямоугольного треугольника ABC и площади параболического сегмента. Получаем:

S=S_ABC минус S_сегм= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 умножить на 7 минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 =20.

Ответ: 20.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4998

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Москва, 1986 год. Экспериментальный экзамен по задачнику А. Н. Чудовского и Л. А. Сомова, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей