PDF-версии: 
Определить все целые значения k, при которых уравнение 
имеет действительные корни.
Решение. Сразу отметим, что 
и 
При этих условиях преобразуем уравнение
Это квадратное уравнение. Для того, чтобы оно имело корни, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. Вычислим его:
что неотрицательно при 
Выясним, при каких k уравнение имеет корень 
Подставляя в него 
находим
Первый случай уже исключен. Во втором уравнение принимает вид 
т. е. 
и имеет корень 
Осталось перечислить все целые числа с полученного промежутка.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |