Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 5081

Может ли значение выражения

 дробь: числитель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи плюс x правая круглая скобка плюс косинус ( Пи минус 3x), знаменатель: 1 минус косинус ( минус 2x) конец дроби

равняться 1? Ответ обосновать.

Спрятать решение

Решение.

Применим формулы приведения, используем четность косинуса:  косинус ( минус 2x)= косинус 2x. Получаем уравнение

 дробь: числитель: косинус x минус косинус 3x, знаменатель: 1 минус косинус 2x конец дроби =1 равносильно система выражений 1 минус косинус 2x не равно 0, косинус x минус косинус 3x=1 минус косинус 2x конец системы . равносильно система выражений косинус 2x не равно 1,2 синус x умножить на синус 2x=2 синус в квадрате x конец системы . равносильно

 равносильно система выражений косинус 2x не равно 1,2 синус в квадрате x умножить на 2 косинус x=2 синус в квадрате x конец системы . равносильно система выражений 1 минус 2 синус в квадрате x не равно 1,2 синус в квадрате x(2 косинус x минус 1)=0 конец системы . равносильно система выражений синус в квадрате x не равно 0, косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно

 равносильно система выражений синус x не равно 0, косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец системы . k принадлежит Z .

Ответ: \left \ \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1986 год, работа 1, вариант 1.
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии