Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4954

Решите уравнение  косинус в квадрате x плюс 3 синус x косинус x=2.

Спрятать решение

Решение.

Используем основное тригонометрическое тождество:

 косинус в квадрате x плюс 3 синус x косинус x=2 равносильно косинус в квадрате x плюс 3 синус x косинус x=2 синус в квадрате x плюс 2 косинус в квадрате x равносильно

 равносильно 2 синус в квадрате x минус 3 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x=0.

Так как  косинус x=0 не является решением, то разделим:

2 синус в квадрате x минус 3 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x=0 равносильно 2 тангенс в квадрате x минус 3 тангенс x плюс 1=0 равносильно

 равносильно (2 тангенс x минус 1)( тангенс x минус 1)=0 равносильно совокупность выражений тангенс x=1, тангенс x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,x=\arctg дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . k,n принадлежит Z .

Ответ: \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,\arctg дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n: k,n принадлежит Z \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4960

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1985 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 1 из 10