Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4832

В цилиндре сумма длин высоты и радиуса основания равна 3 м. Найдите высоту цилиндра, при котором объем цилиндра будет наибольшим.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим высоту цилиндра за h, а радиус основания за r, тогда по условию r плюс h=3, откуда h=3 минус r. Объем цилиндра равен

 Пи r в квадрате h= Пи r в квадрате (3 минус r)= Пи (3r в квадрате минус r в кубе ).

Исследуем функцию V(r)= Пи (3r в квадрате минус r в кубе ). Ее производная равна  Пи (6r минус 3r в квадрате )=3 Пи r(2 минус r), что положительно при r принадлежит (0; 2) и отрицательно при r принадлежит (2; 3). Значит, функция V(r) возрастает при r меньше 2 и убывает при r больше 2. Поэтому наибольший объем цилиндра достигается при r=2 и, следовательно, h=3 минус r=1.

 

Ответ: 1 дм.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4826

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1978 год, работа 2 (запас.), вариант 2
? Классификатор: Применение производной к решению задач
?
Сложность: 5 из 10