РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4765

Докажите равенство: $2 плюс 6 плюс 18 плюс ... плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =3 в степени n минус 1$ для всех натуральных n.

Спрятать решение

Решение.

Воспользуемся методом математической индукции. База индукции: при $n=1$ получаем $2 умножить на 3 в степени 0 =3 в степени 1 минус 1$   — верно. Индукционный переход: пусть равенство верно при $n = K:$

$2 плюс 6 плюс 18 плюс ... плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка K минус 1 правая круглая скобка =3 в степени K минус 1,$

покажем, что тогда оно верно и при $n = K плюс 1:$

$левая круглая скобка 2 плюс 6 плюс 18 плюс ... плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка K минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 2 умножить на 3 в степени K = левая круглая скобка 3 в степени K минус 1 правая круглая скобка плюс 2 умножить на 3 в степени K =3 в степени левая круглая скобка K плюс 1 правая круглая скобка минус 1.$

Получили, что утверждение верно для $n=K плюс 1.$ Тогда оно верно для всех натуральных n.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4771

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1977 год, работа 1 (осн.), вариант 1

? Классификатор: Доказательство тождеств, неравенств

Сложность: 4 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь