Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4765

Докажите равенство: 2 плюс 6 плюс 18 плюс ... плюс 2 умножить на 3 в степени (n минус 1) =3 в степени n минус 1 для всех натуральных n.

Спрятать решение

Решение.

Воспользуемся методом математической индукции. База индукции: при n=1 получаем 2 умножить на 3 в степени 0 =3 в степени 1 минус 1 — верно. Индукционный переход: пусть равенство верно при n = K:

2 плюс 6 плюс 18 плюс ... плюс 2 умножить на 3 в степени (K минус 1) =3 в степени K минус 1,

покажем, что тогда оно верно и при n = K плюс 1:

(2 плюс 6 плюс 18 плюс ... плюс 2 умножить на 3 в степени (K минус 1) ) плюс 2 умножить на 3 в степени K =(3 в степени K минус 1) плюс 2 умножить на 3 в степени K =3 в степени (K плюс 1) минус 1.

Получили, что утверждение верно для n=K плюс 1. Тогда оно верно для всех натуральных n.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4771

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1977 год, работа 1 (осн.), вариант 1
? Классификатор: Доказательство тождеств, неравенств
?
Сложность: 4 из 10