Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4754
i

Най­ди­те все дей­стви­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых мно­же­ства зна­че­ний функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =xe в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в сте­пе­ни 4 минус 4x плюс a в кубе плюс a сов­па­да­ет.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем сна­ча­ла мно­же­ство зна­че­ний функ­ции y=xe в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка . Сразу за­ме­тим, что

\lim\limits_xarrow минус бес­ко­неч­ность xe в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = \lim\limits_xarrow минус бес­ко­неч­ность дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =\lim\limits_xarrow минус бес­ко­неч­ность дробь: чис­ли­тель: x', зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ' конец дроби = \lim\limits_xarrow минус бес­ко­неч­ность дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: минус e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =0

по пра­ви­лу Ло­пи­та­ля и \lim\limits_xarrow плюс бес­ко­неч­ность xe в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = плюс бес­ко­неч­ность . Возь­мем те­перь ее про­из­вод­ную

 левая круг­лая скоб­ка xe в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс xe в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что от­ри­ца­тель­но при x мень­ше минус 1 и по­ло­жи­тель­но при x боль­ше минус 1, по­это­му у функ­ции гло­баль­ный ми­ни­мум при x= минус 1, y левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1e в сте­пе­ни 0 = минус 1 и об­ласть зна­че­ний функ­ции это луч  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ясно что при любом a

\lim\limits_xarrow \pm бес­ко­неч­ность левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни 4 минус 4x плюс a в кубе плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка = плюс бес­ко­неч­ность ,

по­это­му нужно толь­ко сде­лать так, чтобы наи­мень­шее зна­че­ние этой не­пре­рыв­ной функ­ции было равно −1. Ее про­из­вод­ная

4x в кубе минус 4=4 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

по­ло­жи­тель­на при x боль­ше 1 и от­ри­ца­тель­на при x мень­ше 1, по­это­му при x=1 функ­ция g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка имеет гло­баль­ный ми­ни­мум. Он равен 1 минус 4 плюс a в кубе плюс a, от­ку­да

a в кубе плюс a минус 3= минус 1 рав­но­силь­но a в кубе плюс a минус 2=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но a=1.

Ответ: a=1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4760

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1989 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10