Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4688

Решите систему уравнений  система выражений корень из (y в квадрате минус 4x) =2x минус y, 4 корень из (y в квадрате минус x в квадрате ) =x плюс y плюс 3. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Возведем обе части квадратного уравнения в квадрат:

y в квадрате минус 4x=4x в квадрате минус 4xy плюс y в квадрате равносильно x в квадрате минус xy плюс x=0 равносильно x(x минус y плюс 1)=0,

откуда следует, что решение системы удовлетворяют x=0 или x минус y плюс 1=0. Рассмотрим оба этих случая.

1) x=0:

 система выражений корень из (y в квадрате ) = минус y,4 корень из (y в квадрате ) =y плюс 3 конец системы . равносильно система выражений y меньше или равно 0,16y в квадрате =y в квадрате плюс 6y плюс 9, y плюс 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений минус 3 меньше или равно y меньше или равно 0,5y в квадрате минус 2y минус 3=0 конец системы . равносильно система выражений минус 3 меньше или равно y меньше или равно 0, совокупность выражений y=1,y= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно y= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .

2) x минус y плюс 1=0 равносильно x=y минус 1. В этом случае первое уравнение обращается в верное равенство при условии 2x минус y больше или равно 0, откуда 2y минус 2 минус y больше или равно 0, то есть y больше или равно 2. Далее выполним подстановку во второе уравнение:

4 корень из (y в квадрате минус (y минус 1) в квадрате ) =y минус 1 плюс y плюс 3 равносильно 4 корень из (2y минус 1) =2y плюс 2 равносильно 2 корень из (2y минус 1) =y плюс 1 равносильно
 равносильно система выражений 4(2y минус 1)=y в квадрате плюс 2y плюс 1,y плюс 1 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений y в квадрате минус 6y плюс 5=0,y плюс 1 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений y=1,y=5 конец системы . ,y плюс 1 больше или равно 0. конец совокупности .

Решение y=1 не удовлетворяет условию y больше или равно 2.

 

Ответ: \left\ левая круглая скобка 0; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка ;(4;5)\.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4683

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1988 год, работа 4, вариант 2
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы
?
Сложность: 8 из 10