Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4648

Изобразите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию lm дробь: числитель: 2, знаменатель: z минус 1 конец дроби больше или равно 1.

Спрятать решение

Решение.

Пусть z=x плюс yi, тогда

 дробь: числитель: 2, знаменатель: z минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 1 плюс yi конец дроби = дробь: числитель: 2(x минус 1 минус yi), знаменатель: (x минус 1) в квадрате плюс y в квадрате конец дроби .

Неравенство примет вид  дробь: числитель: 2(x минус 1), знаменатель: (x минус 1) в квадрате плюс y в квадрате конец дроби больше или равно 1. После домножения на знаменатель (он положителен всегда, кроме случая x=1, y=0) получим

2(x минус 1) больше или равно (x минус 1) в квадрате плюс y в квадрате равносильно 2x минус 2 больше или равно x в квадрате минус 2x плюс 1 плюс y в квадрате равносильно

 равносильно x в квадрате минус 4x плюс 4 плюс y в квадрате меньше или равно 1 равносильно y в квадрате плюс (x минус 2) в квадрате меньше или равно 1.

Это неравенство задает круг радиуса 1 с центром в точке (2; 0). Из него надо выколоть точку (1; 0), лежащую у него на границе.

 

Ответ: см. рисунок.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4654

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1991 год, работа 5, вариант 1
? Классификатор: Изображение множеств комплексных чисел на плоскости
?
Сложность: 9 из 10