PDF-версии: 
Пусть M — множество точек 
комплексной плоскости таких, что 
K — множество точек 
комплексной плоскости вида 
где 
Найдите расстояние между фигурами M и K.
Решение. Пусть
тогда 
или 
Множество M точек комплексной плоскости, удовлетворяющих данному условию, есть окружность с центром в точке 
и радиусом 
По условию т. е. 
Если обозначить 
то 
и 
Множество K точек комплексной плоскости, удовлетворяющих этому условию есть окружность с центром в точке 
и радиусом
Так как окружности M и K не имеют общих точек, то расстоянием между ними (см. рис.) является длина отрезка PN линии центров, т. е. 
Ответ: 1.
Комментарий. Заметим, то геометрическое обоснование того, что длина отрезка PN есть расстояние между данными фигурами, весьма просто, но не обязательно на экзамене по алгебре и анализу. Действительно, возьмем на окружностях K и M такие точки 
и 
соответственно (см. рис.), что 
и 
Для ломаной 
и прямой 
выполняется неравенство
Вычитая из обеих частей неравенства сумму радиусов, получаем 
таким способом решали многие учащиеся.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |