Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4627
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ка­ми функ­ций y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те и y=x в квад­ра­те минус 6x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Функ­ция  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6x минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та опре­де­ле­на и не­от­ри­ца­тель­на при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . При таких x функ­ция y=x в квад­ра­те минус 6x=x левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка не­по­ло­жи­тель­на, по­это­му ее гра­фик про­хо­дит ниже гра­фи­ка пер­вой функ­ции. При x=0 и x=6 они при­ни­ма­ют оди­на­ко­вое зна­че­ние 0.

Раз­де­лим фи­гу­ру на две части  — то, что выше оси абс­цисс и то, что ниже нее. Верх­няя часть  — пло­щадь под гра­фи­ком функ­ции y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6x минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , то есть

y в квад­ра­те =6x минус x в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 6x плюс 9 плюс y в квад­ра­те =9 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =9,

при усло­вии y боль­ше или равно 0. Это урав­не­ние за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­са 3 с цен­тром в точке  левая круг­лая скоб­ка 3;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му пло­щадь верх­не­го по­лу­кру­га равна  дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пло­щадь ниж­ней части вы­чис­лим с по­мо­щью ин­те­гра­ла.

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 6, левая круг­лая скоб­ка 0 минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 6, левая круг­лая скоб­ка 6x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx= левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка |_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =
=3 умно­жить на 36 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 216 минус 3 умно­жить на 0 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 0=108 минус 72=36.

Общая пло­щадь равна  дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 36.

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 36.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2982

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2006 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10