Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4478
i

Най­ди­те наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ния функ­ции y=2 минус 3 синус x плюс 4 ко­си­нус x на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Дан­ная функ­ция опре­де­ле­на, не­пре­рыв­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на  R , а сле­до­ва­тель­но, и на дан­ном от­рез­ке.

y' = минус 3 ко­си­нус x минус 4 синус x.

Кри­ти­че­ски­ми точ­ка­ми функ­ции яв­ля­ют­ся нули ее про­из­вод­ной, то есть точки x = минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z , но из них от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при­над­ле­жат толь­ко точки x = минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и x = минус Пи минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Вос­поль­зо­вав­шись тем, что  синус левая круг­лая скоб­ка минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,  синус левая круг­лая скоб­ка минус Пи минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,  ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус арк­тан­генс минус Пи минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , най­дем зна­че­ния функ­ции y на кон­цах от­рез­ка и в кри­ти­че­ских точ­ках, при­над­ле­жа­щих этому от­рез­ку. Най­дем зна­че­ние в пер­вой точке:

y левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи }3 пра­вая круг­лая скоб­ка = y левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , y левая круг­лая скоб­ка минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 7.

Най­дем зна­че­ние во вто­рой точке:

y левая круг­лая скоб­ка минус Пи минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 3.

Итак,

\max_ x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка y = y левая круг­лая скоб­ка минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 7; \min_ x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка y = y левая круг­лая скоб­ка минус Пи минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 3.

Ответ: Наи­боль­шее зна­че­ние: 7; наи­мень­шее: −3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4468

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи на наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции
?
Сложность: 8 из 10