PDF-версии: 
Изобразите график непрерывной функции, зная, что:
а) область определения функции есть промежуток [−5; 3];
б) значения функции составляют промежуток [−4; 2];
в) производная функции на интервалах (−5; −3) и (−3; 0) отрицательна, а на интервале (0; 3) — положительна;
г) −3 — единственный нуль производной функции.
Решение. Если производная положительна, функция монотонно возрастает, если производная отрицательна, функция монотонно убывает. Пусть своё максимальное значение функция принимает в точках −5 и 3, а значение в точке −3 равно нулю. Своё минимальное значение функция может принимать только в точке 0. В точке −3 производная функции обращается в нуль, значит, в точке −3 график имеет горизонтальную касательную. Следовательно, графику должны принадлежать точки (−5; 2), (−3; 0), (0; −4) и (3; 2) — выделены цветом на чертеже. Последовательно соединим полученные точки, сохраняя монотонность функции, и получим искомый график (см. рис.).
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |