Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4155

Найдите координаты точек, в которых касательные к графику функции y= дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 3 конец дроби , имеющие угловой коэффициент -1, пересекают ось абсцисс.

Спрятать решение

Решение.

Касательная к графику функции f(x) в точке с координатами (x_0; f(x_0)) задаётся уравнением y=f'(x_0) умножить на x плюс f(x_0) минус f'(x_0) умножить на x_0. Так как угловой коэффициент касательной равен -1, то f'(x_0)= минус 1. Найдём производную данной функции f'(x)= дробь: числитель: минус 4, знаменатель: (x минус 3) в квадрате конец дроби и решим уравнение f'(x)=1, т. е.  дробь: числитель: минус 4, знаменатель: (x минус 3) в квадрате конец дроби = минус 1. Получим x_0=1 или x_0=5 и, следовательно, f(x_0)= минус 1 или f(x_0)=3.

Итак, существует две касательные, имеющие угловой коэффициент -1. Запишем их уравнения: y= минус x и y= минус x плюс 8. Найдём координаты точек пересечения касательных с осью абсцисс: A(0; 0), B(8; 0).

 

Ответ: A(0; 0), B(8; 0).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4149

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2003 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 3 из 10