Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4071

Решите уравнение \log _ \textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби (3x минус 4) плюс \log _ \textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (3x минус 4) плюс \log _13169= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус \log _ \textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (3x минус 4).

Спрятать решение

Решение.

Областью определения данного уравнении является множество x больше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , так как логарифмическая функция определена для положительных значений аргумента. Вычислим

 логарифм по основанию (13) 169= логарифм по основанию (13) 13 в квадрате =2.

Преобразуем другие логарифмы так, чтобы они имели одинаковые основания, получим

 логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) (3x минус 4)= логарифм по основанию (\textstyle 2 в степени ( минус 1) ) (3x минус 4)= минус логарифм по основанию 2 (3x минус 4),

и

 логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби ) (3x минус 4)= логарифм по основанию (\textstyle 2 в степени ( минус 4) ) (3x минус 4)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 2 (3x минус 4),

а также  логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ) (3x минус 4)= логарифм по основанию (\textstyle 2 в степени ( минус 2) ) (3x минус 4)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 (3x минус 4). Запишем уравнение, равносильное исходному:

 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию ( 2) (3x минус 4) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 (3x минус 4) плюс 2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 2 (3x минус 4).

Привели подобные слагаемые, получим:

 дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 2 (3x минус 4)= дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби равносильно логарифм по основанию 2 (3x минус 4)=1 равносильно 3x минус 4=2 равносильно 3x=6 равносильно x=2.

Ответ: \left \ 2 \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4065

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 7, вариант 2
? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 4 из 10