Из всех прямоугольников, имеющих площадь 20,25 
найдите стороны того, который имеет наименьший периметр.
Решение. Пусть x см — длина прямоугольника, тогда 
— ширина прямоугольника, причем по смыслу задачи 
Периметр прямоугольника равен 
Составим функцию 
— зависимость длины периметра прямоугольника от длин его сторон. Тогда
Найдем наименьшее значение этой функции. Получим
Решив уравнение 
мы отыщем критические точки. Тогда выражение примет вид
Корень 
не подходит по смыслу. А так как
единственная критическая точка на промежутке 
то функция принимает свое наименьшее значение в этой точке. Таким образом, длина прямоугольника равна 
Вычислим ширину:
Ответ: 4,5 см и 4,5 см.
Комментарий. Заметим, что из всех прямоугольников одинаковой площади наименьший периметр имеет квадрат.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |