Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4027

Решите систему уравнений  система выражений 3 в степени ( \textstyle \log ) _3(x плюс y)=4, 2 в степени (x) плюс 2 в степени (y) =10. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем первое уравнение системы, используя основное логарифмическое тождество:

3 в степени ( логарифм по основанию 3 (x плюс y)) =4 равносильно x плюс y=4.

Теперь запишем систему, равносильную данной

 система выражений 2 в степени x плюс 2 в степени y =10,x=4 минус y. конец системы .

Подставим выражение относительно x в первое уравнение и решим его

2 в степени (4 минус y) плюс 2 в степени y =10 равносильно дробь: числитель: 16, знаменатель: 2 в степени y конец дроби плюс 2 в степени y минус 10=0 равносильно (2 в степени y ) в квадрате минус 10 умножить на 2 в степени y плюс 16=0.

Воспользуемся заменой 2 в степени y =a и найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

a в квадрате минус 10a плюс 16=0 равносильно совокупность выражений a=2,a=8. конец совокупности .

Вернемся к переменной y: при 2 в степени y =2, то y=1; при 2 в степени y =8, то y=3. Найдем соответствующие значения x. Если y=1, то x=3, а при y=3 получаем x=1.

 

Ответ: \left \(1; 3); (1; 3) \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4033

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы, Показательные уравнения и их системы, Смешанные системы
?
Сложность: 2 из 10