PDF-версии: 
Представьте число 61 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба первого слагаемого и второго, умноженного на 12, была наименьшей.
Решение. Пусть x — одно из слагаемых, тогда 
— другое слагаемое, причем 
по условию. Составим функцию 
где 
— это сумма куба первого слагаемого x3 и второго, умноженного на 12, т. е. 
Используем известный алгоритм, найдем наименьшее значение этой функции: 
Решив уравнение 
найдем критические точки функции:
Из условия известно, что все слагаемые были положительными числами, следовательно, корень 
и 
не подходит по условию.
Так как единственная критическая точка 
— точка минимума (см. рис.), то функция принимает свое наименьшее значение в этой точке. Найдем другое слагаемое. Итого 
Ответ: 2 и 59.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |