Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3953

Решите неравенство ( минус x в квадрате минус 8x минус 15)\log _3(2 косинус в квадрате Пи x плюс 1) больше или равно 1.

Спрятать решение

Решение.

Найдем область определения заданного неравенства. Так как 0 меньше или равно косинус в квадрате Пи x меньше или равно 1 для любых значений х и 1 меньше или равно 2 косинус в квадрате Пи x плюс 1 меньше или равно 3 для любых значений х, значит, исходное неравенство определено для любого значения x. Оценим значение логарифмического выражения, входящего в данное неравенство. Так как логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

0 меньше или равно логарифм по основанию 3 (2 косинус в квадрате Пи x плюс 1) меньше или равно логарифм по основанию 3 3=1.

Оценим другое выражение, входящее в данное неравенство:  минус 8x минус x в квадрате минус 15= минус (x плюс 4) в квадрате плюс 1. Так как (x плюс 4) в квадрате больше или равно 0,  минус (x плюс 4) в квадрате меньше или равно 0 и  минус (x плюс 4) в квадрате плюс 1 меньше или равно 1, то произведение этих выражений может быть равно единице при x= минус 4.

 

Ответ: \left \ минус 4 \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3947

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2000 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Логарифмические неравенства
?
Сложность: 6 из 10