PDF-версии: 
Решите уравнение 
используя свойства монотонных функций.
Решение. Предположим, что 
— корень уравнения. Подставив его, мы получим верное равенство
следовательно, наше предположение истинно. Докажем, что других корней данное уравнение не имеет. Рассмотрим функции 
и 
Функция f(x) определена и дифференцируема на ℝ. Исследуем ее на монотонность:
Найдем критические точки функции, решив уравнение 
получим 
где 
Уравнение действительных корней не имеет. Значит,
при любых значениях x и функция f(x) строго убывает на ℝ. Рассмотрим функцию g(x). Она определена на 
и дифференцируема на 
Получим
Так как 
при 
то функция 
возрастает на 
Поскольку функция f(x) строго убывает, а g(x) возрастает на пересечении их областей определения, то уравнение 
имеет не больше одного корня, следовательно, 
единственный корень данного уравнения.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |