При каких значениях параметра a уравнение 
не имеет корней?
Пусть 
где 
Тогда получаем
Следовательно, задачу можно сформулировать следующим образом: при каких значениях параметра a данное квадратное уравнение не имеет корней на отрезке 
Рассмотрим функцию 
Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Рассмотрим возможные случаи расположения графика.
a) Парабола лежит выше оси абсцисс, уравнение (1) корней не имеет, дискриминант 
меньше нуля. Тогда
б) График пересекает ось Ox, но нули функции лежат левее −1, т. е. корни уравнения (1) не входят в рассматриваемый отрезок. Это возможно при выполнении следующих условий: 
и 
и 
где 
является вершиной параболы. Решим систему, составленную из этих неравенств. Получим
в) Парабола пересекает ось, но нули функции лежат правее единицы. Это возможно, когда одновременно 
и 
Решим систему
г) График пересекает ось, но нули функции лежат по разные стороны рассматриваемого отрезка. Это возможно в случае 
и 
Так
Итак, уравнение не имеет корней при 
и 
Ответ: при и
Замечание. Задания 1, 2, 3 и 4 составлены в соответствии со Стандартами математического образования. Задание 5 о нахождении первообразной, имеющей одну общую точку с осью абсцисс, сводится к решению квадратного уравнения с параметром, причем условие единственности корня приводит к рассмотрению только одного случая, а именно 
Задание не выходит за рамки программы и возможностей учащихся общеобразовательных классов. Значительно труднее задание 6, соответствующее скорее, уровню профильного класса. Учитывая, что отметка «5» ставиться за любые пять верно выполненных заданий, можно сказать, что данная работа вполне отвечает программным требованиям.