Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3809

Решите уравнение  косинус корень из (2 минус x) в квадрате = дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Воспользовавшись методами решения простейших тригонометрических уравнений, получим

 корень из (2 минус x в квадрате ) = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . \qquad(1)

Так как 2 минус x в квадрате меньше или равно 2, то 0 меньше или равно корень из (2 минус x в квадрате ) меньше или равно корень из 2 . Понятно, что из всех чисел вида \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,  k принадлежит Z , отрезку [0; корень из 2 ] принадлежит только число  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби . Поэтому уравнение (1) равносильно уравнению

 корень из (2 минус x в квадрате ) = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Возведя обе его части в квадрат и преобразовав получившееся уравнение, получим

x в квадрате =2 минус дробь: числитель: Пи в квадрате , знаменатель: 36 конец дроби равносильно x= \pm корень из (2 минус дробь: числитель: Пи в квадрате , знаменатель: 36 конец дроби ) .

Ответ: \left \\pm корень из (2 минус дробь: числитель: Пи в квадрате , знаменатель: 36 конец дроби ) \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3803

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1997 год, работа 5, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10