Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3651
i

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  синус 3 альфа , если  альфа удо­вле­тво­ря­ет усло­вию  синус 6 альфа = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ  спо­соб. Из усло­вия сле­ду­ет, что 6a= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z . При n=2k, где  k при­над­ле­жит Z по­лу­ча­ем

6a= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k рав­но­силь­но 3a= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но синус 3a= \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

При n=2m плюс 1, m при­над­ле­жит Z по­лу­ча­ем

6a= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m плюс Пи = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m рав­но­силь­но 3a= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи m рав­но­силь­но синус 3a= \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

Во время об­суж­де­ния дан­но­го при­ме­ра с учи­те­ля­ми мы встре­ча­лись и со сле­ду­ю­щим спо­со­бом ре­ше­ния.

 

Ⅱ  спо­соб. Пусть  синус 3a=t, тогда либо  ко­си­нус 3a= минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус t в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , либо  ко­си­нус 3a= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус t в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , и мы по­лу­ча­ем два урав­не­ния 2t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус t в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или 2t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус t в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , что можно объ­еди­нить в одном урав­не­нии:

 левая круг­лая скоб­ка 2t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус t в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус t в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но  4t в квад­ра­те минус 4t в сте­пе­ни 4 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0.

Пусть t в квад­ра­те =u, тогда

4u в квад­ра­те минус 4u плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний u_1= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,u_2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к за­ме­не пе­ре­мен­ной, по­лу­чим

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,t в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , t= \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3645

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния в три­го­но­мет­рии
?
Сложность: 4 из 10