Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3513
i

Фи­гу­ра огра­ни­че­на ли­ни­я­ми y=0 и y= минус x в квад­ра­те плюс 2x плюс 3. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей фигур, на ко­то­рые дан­ная фи­гу­ра де­лит­ся гра­фи­ком функ­ции y= левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Фи­гу­ра, огра­ни­чен­ная пря­мой y=0 и па­ра­бо­лой y= минус x в квад­ра­те плюс 2x плюс 3, есть кри­во­ли­ней­ная тра­пе­ция AMB (см. рис.). Абс­цис­сы ее точек при­над­ле­жат от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , так как при этом  минус x в квад­ра­те плюс 2x плюс 3 боль­ше или равно 0, ее пло­щадь

 S = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка минус x в квад­ра­те плюс 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс x в квад­ра­те плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 1 до 3, = дробь: чис­ли­тель: 32, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Гра­фик функ­ции y= левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ка­са­ет­ся оси в точке  левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Этот же гра­фик пе­ре­се­ка­ет гра­фик функ­ции y= минус x в квад­ра­те плюс 2x плюс 3 в точ­ках, абс­цис­сы ко­то­рых най­дем из урав­не­ния

x в квад­ра­те плюс 2x плюс 1= минус x в квад­ра­те плюс 2x плюс 3 рав­но­силь­но x в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x_1= минус 1,x_2=1, конец со­во­куп­но­сти .

т. е. гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках  левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 1; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка . Рас­смот­рим фи­гу­ру, за­штри­хо­ван­ную на ри­сун­ке.

Ее пло­щадь равна раз­но­сти пло­ща­дей двух кри­во­ли­ней­ных тра­пе­ций S_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S= дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби (по­ло­ви­на уже най­ден­ной пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции АМВ) и

 S_2 = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до 1, левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те dx = \left дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби | пре­де­лы: от минус 1 до 1, = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

тогда S_штрих= дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Ис­ко­мое от­но­ше­ние равно

 дробь: чис­ли­тель: \tfrac8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \tfrac323 минус \tfrac83= дробь: чис­ли­тель: \tfrac8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби 8= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3519

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 8, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 4 из 10