Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3450
i

Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции y=\log _2 дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби плюс \log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Дан­ная функ­ция опре­де­ле­на при тех и толь­ко тех зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та х при ко­то­рых числа под зна­ком ло­га­риф­ма од­но­вре­мен­но по­ло­жи­тель­ны. От­сю­да по­лу­ча­ем си­сте­му

си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Каж­дое из по­лу­чен­ных не­ра­венств вы­ра­жа­ет усло­вие по­ло­жи­тель­но­сти со­от­вет­ству­ю­ще­го квад­рат­но­го трех­чле­на. Гра­фик каж­до­го из них  — па­ра­бо­ла с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх. По­это­му по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния со­от­вет­ству­ю­щий квад­рат­ный трех­член при­ни­ма­ет при зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та, на­хо­дя­щих­ся вне от­рез­ка, кон­ца­ми ко­то­ро­го слу­жат корни трех­чле­на. (Корни сразу видны из пред­став­ле­ния квад­рат­ных трех­чле­нов в виде про­из­ве­де­ния дву­чле­нов во вто­рой си­сте­ме: 1; −3 и −3; 2). Ри­су­нок по­мо­га­ет вы­де­лить ре­ше­ние за­да­чи. Оче­вид­но, общие точки мно­жеств ре­ше­ний обоих не­ра­венств удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям: x мень­ше минус 3 и x боль­ше 2.

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

За­ме­ча­ние. Можно было ре­шить ис­ход­ную си­сте­му, рас­смот­рев со­во­куп­ность двух си­стем:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x плюс 3 боль­ше 0,x минус 1 боль­ше 0, x минус 2 боль­ше 0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x плюс 3 мень­ше 0,x минус 1 мень­ше 0, x минус 2 мень­ше 0 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x боль­ше 2,x мень­ше минус 3. конец со­во­куп­но­сти .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3456

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы
?
Сложность: 1 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025