РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3435

Напишите уравнение касательной к графику функции $y=3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 27 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в точке ее максимума

Спрятать решение

Решение.

Приведем функцию к виду $y=3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка .$ Функция определена и дифференцируема на ℝ:

$y'=3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на натуральный логарифм 3 минус 3 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка умножить на натуральный логарифм 3= 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на \ln3.$

Критическая точка функции у есть корень уравнения $1 минус 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка =0 равносильно x=0.$ Легко вычислить, что $y' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка меньше 0$ и $y' левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше 0.$ Отсюда следует (см. рис.), что х  =  0  — точка максимума исходной функции. Очевидно, касательная, проведенная в точке с абсциссой x₀, если x₀  — точка экстремума функции, имеет вид $y = y левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ В данном случае $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =3 минус 1=2,$ т. е. у  =  2  — уравнение касательной.

Ответ: $y=2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3429

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1994 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Исследование функций, Касательная к графику функции

Сложность: 4 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь