Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3379
i

Ре­ши­те урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x плюс 3 синус x , зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус x плюс синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ  спо­соб. Ис­ход­ное урав­не­ние при усло­вии 2 ко­си­нус x плюс синус x не равно 0 рав­но­силь­но урав­не­нию

3 синус x плюс ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ко­си­нус x= синус x рав­но­силь­но тан­генс x=1 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k,

где k  — целые числа. По­сколь­ку при таких х зна­ме­на­тель дроби, сто­я­щей в левой части урав­не­ния, от­ли­чен от нуля, все най­ден­ные зна­че­ния х яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми ис­ход­но­го урав­не­ния.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

Ⅱ  спо­соб. За­ме­тим, что мно­же­ство зна­че­ний х, для ко­то­рых  ко­си­нус x=0, не со­дер­жит кор­ней дан­но­го урав­не­ния, так как ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: 0 плюс 3 синус x, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 0 плюс синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби но вы­пол­ня­ет­ся ни при каких дей­стви­тель­ных x. По­де­лив чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби из левой части ис­ход­но­го урав­не­ния на  ко­си­нус x, пе­рей­дем к рав­но­силь­но­му урав­не­нию  дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 3 тан­генс x, зна­ме­на­тель: 2 плюс тан­генс x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , из ко­то­ро­го по­лу­чим  тан­генс x=1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3385

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 8, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 2 из 10