№ 3374 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 12. Иррациональные уравнения, их системы
i
Решите уравнение 
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Перепишем уравнение в виде 
После возведения в квадрат обеих частей последнего уравнения получим 
или 
Найдем корни последнего уравнения, являющегося следствием предыдущего: 
и 
Необходимо проверить, будут ли найденные числа корнями исходного уравнения. Если 
то 
— неверное равенство. Если 
то 
— верное равенство. Значит, 
корень исходного уравнения.
Ответ: 
Ⅱ способ. Переписав уравнение в виде 
заметим, что является его корнем. Поскольку в левой части уравнения стоит возрастающая на 
функция, а в правой — убывающая на том же промежутке функция, других корней нет.
Замечание. Исходное уравнение записано в таком виде, что использовать для его решения какой − либо способ, отличный от замены переменной, не совсем благородно по отношению к авторскому замыслу. Обращение авторов сборника к другим способам вызвано отчасти тем, что способу замены переменной (весьма эффективному при решении иррациональных уравнений) не уделяется должного внимания в школьной практике, а отчасти — стремлением показать разнообразие подходов к решению пусть даже не самых сложных задач.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 3368
