Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3363
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y=x в квад­ра­те и y= ко­рень из x .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния двух линий най­дем из урав­не­ния

x в квад­ра­те = ко­рень из x рав­но­силь­но ко­рень из x левая круг­лая скоб­ка x ко­рень из x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x_1=0,x_2=1. конец со­во­куп­но­сти .

На про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство  ко­рень из x минус x в квад­ра­те боль­ше или равно 0. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мую пло­щадь можно вы­чис­лить по фор­му­ле

 S = ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 1, левая круг­лая скоб­ка ко­рень из x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до 1, = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

За­ме­ча­ние. Воз­мож­но ре­ше­ние, ис­поль­зу­ю­щее тот факт, что функ­ции y=x в квад­ра­те и y= ко­рень из x вза­им­но об­рат­ны при x боль­ше или равно 0. От­сю­да сле­ду­ет сим­мет­рия их гра­фи­ков от­но­си­тель­но пря­мой y=x. Это поз­во­ля­ет обой­тись более про­стим ин­те­гра­лом  ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 1, \left x в квад­ра­те dx , т. е. S=2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 1, \left x в квад­ра­те dx пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3357

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 6, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 4 из 10