Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3179

Решите систему уравнений  система выражений 2 корень из (3y плюс x) минус корень из (6y минус x) =x, корень из (3y плюс x) плюс корень из (6y минус x) =3y. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

1-й способ (способ алгебраического сложения). Складывая уравнения, получим 3 корень из (3y плюс x) =3y плюс x. Вычитая из удвоенного второго уравнения первое, получим 3 корень из (6y минус x) =6y минус x. Имеем

 система выражений 3 корень из (3y плюс x) =3y плюс x,3 корень из (6y минус x) =6y минус x конец системы . равносильно система выражений корень из (3y плюс x) умножить на (3 минус корень из (3y плюс x) )=0, корень из (6y минус x) умножить на (3 минус корень из (6y минус x) )=0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений 3y плюс x=0,3y плюс x=9, конец системы . совокупность выражений 6y минус x=0,6y минус x=9. конец совокупности . конец совокупности .

Система сводится к четырем системам линейных уравнений:

 система выражений 3y плюс x=0,6y минус x=0 конец системы . равносильно система выражений x=0,y=0, конец системы .

 

 система выражений 3y плюс x=9,6y минус x=0 конец системы . равносильно система выражений x=6,y=1, конец системы .

 система выражений 3y плюс x=0,6y минус x=9 конец системы . равносильно система выражений x= минус 3,y=1, конец системы .

 

 система выражений 3y плюс x=9,6y минус x=9 конец системы . равносильно система выражений x=3,y=2. конец системы .

Ответ:  \left \ (0; 0); ( минус 3; 1); (6;1); (3; 2) \.

 

 

2-й способ (замена переменных). Пусть

 система выражений u= корень из (3y плюс x) ,m= корень из (6y минус x) конец системы . равносильно система выражений u в квадрате =3y плюс x,u\geqslant0, m в квадрате =6y минус x, m больше или равно 0, конец системы .

откуда x= дробь: числитель: 2u в квадрате минус m в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби , y= дробь: числитель: u в квадрате плюс m в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби . Система принимает вид:

 система выражений 2u минус m= дробь: числитель: 2u в квадрате минус m в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби ,u\geqslant0, m\geqslant0, u плюс m= дробь: числитель: u в квадрате плюс m в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений 6u минус 3m=2u в квадрате минус m в квадрате ,3u плюс 3m=u в квадрате плюс m в квадрате конец системы . равносильно
 равносильно система выражений 6u минус 3m=2u в квадрате минус m в квадрате ,9u=3u в квадрате конец системы . равносильно система выражений u=0,3m=m в квадрате , u=3, 18 минус 3m=18 минус m в квадрате конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений u=0,m=0, конец системы . система выражений u=0,m=3, конец системы . система выражений u=3,m=0, конец системы . система выражений u=3,m=3, конец системы . конец совокупности .

откуда получим совокупность систем:

 

 система выражений x=0,y=0, конец системы .

 система выражений x= минус 3,y=1, конец системы .

 система выражений x=6,y=1, конец системы .

 система выражений x=3,y=2. конец системы .

 

Ответ:  \left \ (0; 0); ( минус 3; 1); (6; 1); (3; 2) \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3185

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1992 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы
?
Сложность: 6 из 10