Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3174

Решите уравнение  косинус 2x плюс синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0.

Спрятать решение

Решение.

Пользуясь формулами приведения тригонометрических функций, получим уравнение  косинус 2x минус косинус x=0. Приведем два способа решения этого уравнения.

1-й способ. Используя формулу двойного аргумента для косинуса, приведем уравнение к виду 2 косинус в квадрате x минус 1 минус косинус x=0 или (2 косинус x плюс 1) умножить на ( косинус x минус 1)=0. Отсюда

 косинус x= минус 0,5 равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z

или

 косинус x=1 равносильно x=2 Пи k, k принадлежит Z .

 

Ответ: \left \ дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи k : k принадлежит Z \.

 

2-й способ. По формуле преобразования суммы косинусов в произведение получим

 минус 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на синус дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно x=2 Пи n, n принадлежит Z

или

 синус дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно x= дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .

Заметим, что первая серия ответов (x=2 Пи k) полностью включается во вторую.

 

Ответ: \left \ дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи k : k принадлежит Z \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3180

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1992 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 1 из 10