Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3174
i

Ре­ши­те урав­не­ние  ко­си­нус 2x плюс синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Поль­зу­ясь фор­му­ла­ми при­ве­де­ния три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций, по­лу­чим урав­не­ние  ко­си­нус 2x минус ко­си­нус x=0. При­ве­дем два спо­со­ба ре­ше­ния этого урав­не­ния.

1-й спо­соб. Ис­поль­зуя фор­му­лу двой­но­го ар­гу­мен­та для ко­си­ну­са, при­ве­дем урав­не­ние к виду 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 минус ко­си­нус x=0 или  левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0. От­сю­да

 ко­си­нус x= минус 0,5 рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z

или

 ко­си­нус x=1 рав­но­силь­но x=2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

2-й спо­соб. По фор­му­ле пре­об­ра­зо­ва­ния суммы ко­си­ну­сов в про­из­ве­де­ние по­лу­чим

 минус 2 синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на синус дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но x=2 Пи n, n при­над­ле­жит Z

или

 синус дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , k при­над­ле­жит Z .

За­ме­тим, что пер­вая серия от­ве­тов  левая круг­лая скоб­ка x=2 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка пол­но­стью вклю­ча­ет­ся во вто­рую.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3180

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 1 из 10