Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3136

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y= минус x в квадрате плюс 4x и касательными, проведёнными к этому графику в точках пересечения его с осью абсцисс.

Спрятать решение

Решение.

Точки пересечения параболы y= минус x в квадрате плюс 4x с осью абсцисс можно найти, решая уравнение  минус x в квадрате плюс 4x=0, то есть x(4 минус x)=0, откуда x=0 или x=4.

Проведем теперь касательные в этих точках. Поскольку y'= минус 2x плюс 4, то y'(0)=4 и y'(4)= минус 4. Значит, касательная в точке (0;0) имеет уравнение y=4(x минус 0) плюс 0, y=4x, а касательная в точке (4;0) имеет уравнение y= минус 4x плюс 16. Эти касательные пересекаются в точке, абсцисса которой удовлетворяет уравнению 4x= минус 4x плюс 16, откуда x=2. Ясно, что эти касательные симметричны друг другу относительно вертикальной прямой, проходящей через точку (2;0), а график y= минус x в квадрате плюс 4x тоже симметричен относительно нее (это ось параболы). Поэтому можно посчитать площадь только той части фигуры, которая лежит в полуплоскости x меньше или равно 2 и удвоить ее. Касательная проходит выше параболы, поскольку ветви параболы направлены вниз, поэтому площадь равна

S=2 принадлежит t\limits_0 в квадрате (4x минус ( минус x в квадрате плюс 4x))dx=2 принадлежит t\limits_0 в квадрате (x в квадрате )dx= 2\dvpod дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе 02=2( дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 минус 0)=2 умножить на дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3130

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1991 год, работа 7, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции
?
Сложность: 5 из 10