PDF-версии: 
Найдите все значения действительного параметра a, при каждом из которых все четыре (возможно комплексных) корня уравнений 
и 
различны и образуют параллелограмм (возможно ромб или прямоугольник) на комплексной плоскости.
Решение. Поскольку корни первого уравнения — действительные числа 2 и −2, симметричные относительно точки (0; 0), возможны два случая:
1) Числа 2 и −2 являются концами одной стороны параллелограмма. Тогда корни второго уравнения можно представить в виде 
и 
где 
Согласно теореме Виета имеем
Из первого уравнения системы находим 
Подставляя во второе уравнение, получаем
2) Числа 2 и −2 являются концами одной диагонали параллелограмма. Тогда корни второго уравнения — противоположные числа и их сумма равна нулю. 
При a = 0 получаем уравнение 
корнями которого являются противоположные числа, не лежащие на одной прямой с числами 2 и −2.
Ответ: a = 0, a = 1.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |