Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2975
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _7 плюс x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 боль­ше 0, 7 плюс x боль­ше 0, 7 плюс x не равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 7 мень­ше x мень­ше минус 6, минус 6 мень­ше x мень­ше минус 3, x боль­ше минус 1. конец со­во­куп­но­сти .

В за­ви­си­мо­сти от ве­ли­чи­ны ос­но­ва­ния ло­га­риф­ма рас­смот­рим два слу­чая:

1.  Ос­но­ва­ние боль­ше 1, зна­чит, 7 плюс x боль­ше 1 рав­но­силь­но x боль­ше минус 6. Тогда имеем

\log _7 плюс x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 6 мень­ше x мень­ше минус 3, x боль­ше минус 1, конец си­сте­мы . x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 мень­ше или равно 7 плюс x конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 6 мень­ше x мень­ше минус 3, x боль­ше минус 1, конец си­сте­мы . x в квад­ра­те плюс 3x минус 4 мень­ше или равно 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 4 мень­ше или равно x мень­ше минус 3, минус 1 мень­ше x\leqslant1. конец со­во­куп­но­сти .

2.  Ос­но­ва­ние мень­ше 1, зна­чит, 7 плюс x мень­ше 1 рав­но­силь­но x мень­ше минус 6. Тогда имеем

\log _7 плюс x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше минус 6, x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 боль­ше или равно 7 плюс x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше минус 6, x в квад­ра­те плюс 3x минус 4 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x мень­ше минус 6.

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­ча­ем ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус 7; минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4; минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус 7; минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4; минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

При­ве­дем дру­гой спо­соб ре­ше­ния.

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции. По­лу­ча­ем:

\log _7 плюс x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но \log _7 плюс x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно \log _7 плюс x левая круг­лая скоб­ка 7 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0,7 плюс x боль­ше 0,7 плюс x не равно 1,x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0,x боль­ше минус 7,x не равно минус 6, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 3,x боль­ше минус 1 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 7 мень­ше x мень­ше минус 6, минус 4 мень­ше или равно x мень­ше минус 3, минус 1 мень­ше x мень­ше или равно 1. конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус 7; минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4; минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2969

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2005 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 6 из 10