PDF-версии: 
При каких значениях параметра a существует хотя бы одно значение b такое, что на промежутке 
уравнение 
имеет ровно один корень? Для каждого такого a укажите все значения b.
Решение.
Разделим это уравнение на 
Получим
Обозначим 
Получаем
Отсюда ясно, что при 
или 
корней нет, а при 
на любом промежутке длиной 2π с включенным одним концом (например, 
будет два решения (а на всем промежутке 
уж точно не меньше двух). Поэтому 
При этом 
для a = 5, 
для a = −5. То есть решения таких уравнений периодически повторяются с периодом 2π. Значит, на промежутке 
их было бы ровно два. Поэтому нужно, чтобы одно из них совпадало с 
Или, поменяв выбор k, совпадало бы с b
Окончательно, при a = 5 подходят
при a = −5 подходят
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |