Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2869
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ка­ми функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x конец дроби и ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в его точке с абс­цис­сой 6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сна­ча­ла най­дем

g' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= левая круг­лая скоб­ка 3x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=3 левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби .

Зна­чит,

g левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

g' левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 6 в квад­ра­те конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ,

и урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид

y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x плюс 1.

Най­дем точки пе­ре­се­че­ния линий. Ка­са­тель­ная к ветви ги­пер­бо­лы имеет с ней толь­ко одну общую точку.

Функ­ция 3 в сте­пе­ни x воз­рас­та­ет, а функ­ция  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x конец дроби убы­ва­ет, по­это­му они имеют не более одной общей точки. Один ко­рень урав­не­ния 3 в сте­пе­ни x = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x конец дроби легко уга­дать  — x=1.

Функ­ция 3 в сте­пе­ни x воз­рас­та­ет, а функ­ция  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x плюс 1 убы­ва­ет, по­это­му они имеют не более одной общей точки. Один ко­рень урав­не­ния 3 в сте­пе­ни x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x плюс 1 легко уга­дать  — x=0.

Зна­чит фи­гу­ра огра­ни­че­на снизу гра­фи­ком y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x плюс 1, а свер­ху при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка гра­фи­ком y=3 в сте­пе­ни x , при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка гра­фи­ком y= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x конец дроби . По­это­му ее пло­щадь равна

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 1, левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни x минус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 1 до 6, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 1, левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 1 до 6, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка |_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка |_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка |_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка |_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби минус 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби умно­жить на 0 в квад­ра­те плюс 0 минус дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби плюс 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 6 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби умно­жить на 6 в квад­ра­те минус 6 минус 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс 1=
= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби минус 0 плюс 0 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби плюс 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 6 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби умно­жить на 36 минус 6 минус 3 умно­жить на 0= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби плюс 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 6 плюс дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби минус 6 минус 0=
= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби плюс 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 6 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 6= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби плюс 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 6 минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби плюс 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 6 минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2863

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 8 из 10